TP-GMM

Task-parameterized Gaussian mixture model (TP-GMM)

对于一组示教数据 $\mathbf{\xi }\in R^{D\times N}$，从不同的坐标系去观测它
$$X_t^{(j)}={\mathbf{A}}_{t,j}^{?1}({\mathbf{\xi }}_t?{\mathbf{b}}_{t,j})$$
上标 $j$ 代表坐标系，下标 $t$ 代表 示教轨迹数据$(datapoints)$的索引，$A$ 和 $b$ 代表坐标系 $j$的姿态描述和位置描述
TP-GMM 形式为有 $K$个 $component$ 其形式为
{ π i , { μ i j , Σ i ( j ) } j = 1 P } i = 1 K \{{\pi_i,\{μ_i^{j},Σ^{(j)}_i}\}^P_{j=1}\}^K_{i=1} {πi?,{μij?,Σi(j)?}j=1P?}i=1K?
可以看出均值 $\mu$ 和 $\Sigma$ 方差 的维度为 $K\times P$

直接拿不同坐标系数据去训练, 扩张维度, 是不是太生猛一点了

训练完后需要去掉坐标系维度,得到最终的 TP-GMM。论文的做法是，对于每个 $component$ 存在 $P$ 个分布，将这 $P$ 个高斯分布相乘，最终得到的结果是：

得到最终 $TP?GMM$ 后进行高斯混合回归，对于任务空间中的轨迹数据，上标 I 对应于时间输入维度，O 对应于描述任务空间中路径(位置和方向)的输出维度。n 代表迭代次数， ${\xi }_n^I$ 和 ${\xi }_n^o$ 代表输入和输出。训练出的TP-GMM模型是输入输出的联合分布，将 TP-GMM 的均值和方差拆成输入输出两部分
GMR依赖该联合分布 $P({\xi }_n^I,{\xi }_n^o)$ 估计条件概率 $P({\xi }_n^I|{\xi }_n^o)$ ，最终的分布为$N({\hat{\xi }}_n^O,{\hat{\Sigma }}_n^O)$